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Des spiralles à la pelle
 
 

Production : Jean François BRON, Gérard CORDES, Philippe JONIN, Françoise MUNCK, Dominique POULIQUEN

 

 

Typen°1

Possibilité de poser à des élèves de seconde des questions du genre :

 

1°) Les angles géométriques

A0OA1, A1OA2, A2OA3 et A3OA4 ont -ils même mesure?

Raisonnement par contraposée :

Si les angles A0OA1 et  A1OA2 avaient même mesure alors les triangles seraient de même forme et donc isométriques puisque A0A1 =A1A2

OA0 est, par exemple, fixée égale à 4 .

2°) Se demander à quelle condition sur la longueur A0A1 la spirale est-elle constituée par exemple de 5 points ?

 

Première condition: pour que A1 existe il faut et il suffit que A0A1 soit comprise entre 0 et 4.

 

Posons a = A0A1 .

Trouver une condition et l'exploiter ( manipulation d'inégalités )

Pour que A2 existe il faut et il suffit que OA1 ² soit supérieur ou égal à a² soit 16 - a² ³ a² soit a £ 2 .

Pour que A4 existe il faut et il suffit que  OA3 ² soit supérieur ou égal à  a²  soit 16 - 3a²  ³  a²  soit  a £ 2.

 

Qu'apporte l'utilisation d'un logiciel dans une telle activité ?

Concrétiser l'impossibilité de construire certains points pour certaines valeurs de a.
Démultiplier les possibilités d'observation. Les questions posées aux élèves peuvent être plus ouvertes parce qu'ils ont la possibilité d'expérimenter concrètement.
Offrir une possibilité de contrôle des résultats trouvés.
Automatiser le processus de construction de la spirale nécessite de développer un esprit algorithmique puisqu'il faut accepter de se plier à la logique d'un logiciel.

   

Type n°2

I Possibilité d'amener des élèves de seconde à se poser des questions du genre :

 

1°) Les distances

A0A1, A1A2 et  A2A3   peuvent -elles être égales ?

 

Raisonnement par contraposée :

Comme les angles A0OA1 et  A1OA2 ont même mesure alors les triangles A0OA1 et  A1OA2 sont de même forme.

Si de plus A0A1 =A1A2 les triangles seraient isométriques et donc OA0 ,  OA1 et OA2  seraient égales.

 

 

 

2°) Se demander à quelle condition sur la mesure de l'angle A0OA1 le quatrième point de la spirale appartient-il à l'axe des ordonnées ? A quelle condition A15 appartient à l'axe des abscisses ?  Que peut-on en déduire pour  d'autres points de la spirale ?

 

Appelons a  la mesure en degré de l'angle géométrique A0OA1

 

        

Pour que A3  appartienne à l'axe des ordonnées privé du point O  il faut et il suffit que  3a = 90.  Dans ce cas, tous les points de la spirale dont l'indice est un multiple pair de 3  appartiennent à l'axe des abscisses, tous ceux dont l'indice est un multiple impair de 3 appartiennent à l'axe des ordonnées.

 

Pour que A15  soit le second point de la spirale à appartenir à l'axe des abscisses et à avoir une abscisse strictement positive il faut et il suffit que  15a = 360.  Dans ce cas, tous les points de la spirale dont l'indice est un multiple de 15  appartiennent à la demi-droite [OA0). 

Possibilité de réinvestir la division euclidienne : comme 2001 =  15*133+6 , A2001 appartient à la demi-droite [O A6 ).

   

 Avec des élèves de première S .

Orienter cette fois-ci les élèves vers une construction de la spirale exploitant les connaissances sur les coordonnées polaires et les suites arithmétiques et géométriques.
Pour tout n , l'angle orienté (  , ) a pour mesure en radian  a.
Si on pose   rn = OAn , tn une mesure en radian de  ( , ) et  l n = AnAn+1,  les élèves seront amenés à prouver que ( rn) et (l n) sont géométriques de raison cos(a) alors que (tn) est arithmétique de raison a .

   

 

 

Possibilité de poser à un élève de première S des questions du genre:

 

1°) Dans le domaine géométrique:
      On choisit n = 1.
      Quel est le lieu du point A1 lorsque a décrit l'intervalle ]-pi/2; pi/2[, a ¹ 0?
 
2°) Dans le domaine arithmétique:
a )  On choisit a = , Trouver toutes les valeurs de n pour lesquelles An est un point de l'axe des abscisses. Même question avec a = .
b)  Trouver toutes les valeurs de a pour lesquelles le point M40 est un point de l'axe des abscisses.
c) Quelles sont les valeurs de a et n  qui permettent d'obtenir le parallélisme du segment [AnAn+1] avec l'axe des abscisses?

 

3°) Dans le domaine de l'analyse

a) Exprimer en fonction de n et a la longueur Ln de la ligne polygonale A0A1A2...An.
b) Quelle est la limite de Ln quand n tend vers plus l'infini ?
Amorcer un passage des points qui définissent la ligne polygonale à une courbe continue?
c) La recherche d'une relation entre rn et tn.
En éliminant n entre tn et rn , exprimer rn en fonction de tn et de a.
 Une courbe contenant tous les points An.
d)  Sur la figure précédente, construire la courbe (C) d'équation polaire:

avec Géoplanw : Menu...Créez...ligne....Courbe en coordonnées polaire.

 

e)    Pour a = p/ 18, exprimer une approximation de la longueur de cette spirale (C) en s'aidant de l'étude faite sur la ligne polygonale définie auparavant.

   

Qu'apporte l'utilisation d'un logiciel dans une telle activité ?

Une automatisation "confortable" ( qui permet de remonter le temps ! ce que la commande de construction itérative du logiciel géoplanw ne permet pas ) de  la construction des points de la spirale peut conduire à motiver la mise en œuvre de connaissances mathématiques sur les coordonnées en polaires et les suites.
 
Démultiplier les possibilités d'observation. On peut modifier sans effort la valeur de a.
 
Offrir une possibilité de contrôle des résultats trouvés.
  

Site de Mathématiques de l'académie de Nantes